Biografía

Una nueva apreciación por el matemático irlandés William Hamilton

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El 2 de septiembre de 2020 marcará el 155 aniversario de la muerte del matemático irlandés William Rowan Hamilton. Hoy en día, el trabajo de Hamilton está resultando fundamental en las áreas de las teorías de campo como el electromagnetismo y la mecánica cuántica.

Hamilton nació en Dublín, Irlanda, hijo de un abogado irlandés y, a la edad de tres años, fue enviado a vivir con un tío que dirigía una escuela. Allí, Hamilton mostró una asombrosa habilidad para aprender idiomas, llegando a dominar el hebreo, persa, árabe, indostaní, sánscrito y malayo.

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A los 18 años, Hamilton ingresó en el Trinity College de Dublín, donde recibió primero una licenciatura y luego una maestría en matemáticas en 1837. Mientras aún era estudiante, Hamilton fue nombrado para el puesto de astrónomo real de Irlanda y se trasladó al Observatorio de Dunsink, donde pasó el resto de su vida.

Hamilton es más famoso por reformular la mecánica newtoniana en mecánica hamiltoniana. También creó el camino hamiltoniano, que es un camino rastreable que visita cada vértice de un poliedro Exactamente una vez.

Un poliedro es una forma tridimensional con caras planas poligonales (de varios lados), bordes rectos y esquinas o vértices afilados. Los caminos hamiltonianos en poliedros también se habían estudiado durante los matemáticos del siglo XVIII Abraham de Moivre y Leonhard Euler, por el matemático indio del siglo IX Rudrata y por el matemático islámico al-Adli ar-Rumi.

Geometría simpléctica

El trabajo de Hamilton condujo a un nuevo campo llamado geometría simpléctica, que es el estudio de espacios geométricos que tienen una estructura simpléctica. Eh, ¿qué es una estructura simpléctica?

Una estructura simpléctica proporciona una forma de medir el área de un espacio. Hamilton descubrió estos espacios mientras analizaba el movimiento de los planetas, y en tal espacio, puede cambiar la forma del espacio solo si su área permanece igual.

A medida que un planeta se mueve por el espacio, su posición en el espacio tridimensional se describe mediante tres coordenadas a lo largo de los ejes x, y y z. Hamilton vio que en cada punto del espacio tridimensional, también podría asignar tres coordenadas adicionales: xmetro, ymetro, yzmetro que especifican el impulso del planeta a lo largo de cada eje.

Por lo tanto, a cada punto en el espacio tridimensional se le pueden asignar seis coordenadas, tres que especifican su posición y tres que especifican su momento. Esto se convierte en un espacio simpléctico de seis dimensiones. La palabra "simpléctica" proviene de la palabra griega sumplektikós, que significa "trenzado". Esto refleja la forma en que la estructura simpléctica y números complejos están entrelazados.

Si recuerda de su clase de álgebra de la escuela secundaria, los números complejos incluyen yo que es la raíz cuadrada de -1. Los números complejos se pueden escribir en la forma:
a + bi
dónde un refleja la parte real, y segundo es la parte imaginaria. Puede definir un espacio simpléctico de seis dimensiones utilizando tres números complejos. Hoy en día, la geometría simpléctica se utiliza en los campos de la teoría de cuerdas, la topología y la simetría especular.

Además de inventar la geometría simpléctica, Hamilton también hizo avances en áreas de funciones de pareja algebraicas conjugadas (los números complejos se construyen como pares ordenados de números reales), la solubilidad de ecuaciones polinomiales y la teoría de las funciones fluctuantes, que se utiliza en el análisis de Fourier.

Cuaterniones

Hamilton es también el descubridor de cuaterniones, que son un sistema numérico que amplía los números complejos. Una característica extraña de los cuaterniones es que la multiplicación de dos cuaterniones es no conmutativo. Conmutativo significa que si cambiamos el orden de los operandos, el resultado no cambia.

En el sistema de números reales, "3 + 4 = 4 + 3" y "2 × 5 = 5 × 2", sin embargo, la división y la resta son no conmutativas. Por ejemplo, "3 - 5 ≠ 5 - 3".

Los cuaterniones se expresan como:
un + segundoyo + Cj + rek
dónde a B C, y re son números reales, y yo, j, y k son cuaterniones. Los cuaterniones fueron fundamentales para poner al primer hombre en la luna y se utilizan para gráficos generados por computadora en películas.

El legado de Hamilton

El 16 de octubre de 1843, Hamilton y su esposa caminaban por la orilla del Royal Canal cuando en Broome Bridge, Hamilton tuvo un momento Eureka. Se apresuró a rayar en el puente su fórmula para el álgebra del Cuaternión:
i² = j² = k² = ijk = -1.

Hamilton murió en septiembre de 1865 y está enterrado en el cementerio Mount Jerome de Dublín. En 2018, la Autoridad Nacional de Transporte de Irlanda marcó el "graffiti" de Hamilton en Broome Bridge encargando una obra de arte para el espacio.

En 2005, el 200 aniversario del nacimiento de Hamilton, Trinity College Dublin inauguró el Instituto de Matemáticas de Hamilton. La Royal Irish Academy celebra una Conferencia pública anual sobre Hamilton y, en 1943, Irlanda emitió dos sellos conmemorativos en honor a William Hamilton.

En 2005, el Banco Central de Irlanda emitió una moneda conmemorativa a prueba de plata de 10 euros para conmemorar los 200 años desde el nacimiento de Hamilton.


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